Соотношения между событиями

События могут быть связаны между собою словами «и», «или», «не» и «если..то», образуя более сложные события. Предложение, рассмотренное выше, «если отказал первый элемент, илн отказал второй элемент, или отказали первый и Бторой элементы вместе, то отказала система, состоящая из двух одиночно соединенных элементов», может быть рас­смотрено как сложное событие, образованное с помощью союзов «если…, то», «или», «и» из элементарных событий «отказ системы, состоящей из двух одиночно соединенных элементов», «отказ первого элемента», «отказ второго эле­мента», «отказ первого и второго элемента вместе».

„ Каждый из логических союзов условились обозначать для краткости каким-либо символом, как в арифметике вместо слов «плюс», «минус», «умножить», «разделить» пользуются хорошо известными символами. Так же принято союз «ИЛИ» в неисключающем значении обозначать знаком сложения крестиком «-Р», союз «И»—знаком умножения точкой «•», союз «если..то» стрелкой «». Если событие обозна­чают для сокращения какой-либо буквой, то его отрицание, т. е. союз «НЕ», обозначают той же буквой, но с черточкой наверху. Например:

— работоспособность первого элемента — Эь отказ пер­вою элемента — Эь

— работоспособность второго элемента — Э2; отказ второ — ю элемента — Э2.

Несовместные события. Несовместными событиями назы­ваются события, которые не могут появиться одновременно вместе (в один и тот же момент времени в одном и том же опыте). Например, самолет не может быть одновременно и работоспособным, и неработоспособным, или какой-либо эле­мент не может быть одновременно отказавшим и работоспо­собным.

События, образующие полную группу. Несколько событий » данном опыте образуют полную группу событий, если в ре — іультатє опыта непременно должно появиться хотя бы одно 13 них.

Примеры событий, образующих полную группу: отказ и работоспособность; дефект и исправность; любые из состоя­ний отказавшей системы.

Равновозможные события. Несколько событий в данном ипыте называются равиовозможными, если ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем фугие.

Если события обладают всеми тремя свойствами: они об­разуют полную группу, несовместны и равновозможны, то они называются случаями.

Если какой-либо опыт обладает равновозможными, несов­местными и образующими полную группу исходами, то такой опыт сводится к схеме случаев. Схема случаев наблюдается it опытах, в которых заранее и сознательно обеспечена одина­ковая возможность исходов опыта, как, например, при броса­нии игральной кости.

Сумма и произведение событий. Суммой двух событий 1 м В называется событие С, состоящее в выполнении собы — I IIH А или события В илн обоих вместе.

Если события А и В несовместны, то появление обоих этих тбытнй вместе отпадает и сумма событий А и В сводится к ИНН млению или события А, или события В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоя­щее и появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие, нюнящее в совместном выполнении события А и события В. Например, отказы первого и второго элементов Э[ — Э2.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Сумма противоположных событий достоверна, а произве­дение их невозможно.

Сумма А +А—А, а произведение А — А=А.

Если событие А может произойти только при осуществле­нии одного из ряда несовместных событий, образующих пол­ную группу (Н, #2» …, /^н), то оно также образует несов­местные комбинации или событие А подразделяется иа част­ные случаи

А = АНХ + АН* + … + Л Нп =* 2 АИі>

ыл

Равносильные сложные события. Если событие А влечет за собой событие В (А -»■ В) и в то же время событие В вле­чет за собой событие А (В -*■ А), т. е. в каждом опыте собы­тие А и В происходят или не происходят, то условились счи­тать, что такие два события равносильны и обозначают эти соотношения символом А—В^

Если А-*В, но В—-*-А, а А, что имеет место в соотно­шениях между событиями при переходе от функционально менее общего уровня к более общему уровню (элемент -*• система), то соотношения между событиями А и В обознача­ют символом

А ->■ В — В -*■ А.

Соотношение между событиями А-*-В можно заменить соотношением А+В, например, если отказ первого элемента Аи то отказ системы С равносилен работоспособности эле­мента А или отказу системы С

At С = Аі "Ь С.

Рассмотренные соотношения между элементарными и сложными событиями на примере опыта с шестью равновоз­можными исходами (бросание игральной кости) показаны на рис. 2.1.

Пространство из шести элементарных событий выпадения одного или двух, или трех, или четырех, или пяти, или шести очков при бросании игральной кости показано на рис. 2.1, с.

Каждое элементарное событие обозначено одной точкой.

II. і рис. 2.1,6 показаны сложные события:

А — «выпадение не более двух очков»; А — «выпадение не лемее трех очков»; В — «выпадение не менее трех и не более

им ні очков»; В — «выпаде­ние нс менее двух или шести очков»; АВ — «выпадение шести очков; А+В—«выда­чей не не более пяти очков».

Каждому из рассмотрен­ных сложных событий соот — тчствует другое событие, определенное условием «со­бытие А (В, А + В) не про — II юшло». Оно содержит все і очки, не содержащиеся в со­бытии А (В, А+В). Если со­бытие А содержит точки 1 и 2, то событие А содержит і очки 3, 4, 5 и 6, Или если « обытие В содержит_точки 3, t и 5, то событие В содер­жит точки 1, 2, 6, Таким об­разом, событие, состоящее и і всех точек, не содержа­щихся в событии А, называ­ется событием, противопо­ложным событию А (или его отрицанием), и обозначает­ся А.

Запись С~ 0 означает, что событие С не содержит щементарных событий (со­бытие С невозможно). Нуль » этом случае следует пони­мать в символическом смыс­ле, а не как число.

Для нашего опыта С=О может означать выпадение больше шести очков.

Событие А+В означает выпадение не менее пяти очков.

Сложное событие А В — «выпадение не более трех и не ме­нее двух очков» —-показано на рис. 2.1,е.

Событие АВ содержит одну точку 3. Событие АВ содер­жит точки 1, 2, 4, 5 и 6. Событие А В получено в результате совместного выполнения событий A Vi. В.

Сложное событие В, все точки которого (2; 3) содержатся в сложном событии А (/; 2; 3) на рис. 2.1, г. Такое соотноше­ние между событиями обозначают В -> А и говорят, что если произошло событие В, то произошло и событие А (или собы­тие А является следствием события В, а событие В — усло­вием) .

Сложные несовместные события А {1,2) и В {3; 4; 5) по­казаны на рис. 2.1, д.

Если сложные события А и В несовместны, то наступление события А влечет ненаступление события В, и наоборот. Сле­довательно, АВ = 0 означает то же самое, что А~> В и В-^А. Кромеэтого из рис. 2.1, д видно, что сложные^события А А-В н А А-В не равны между собою: событие А А-В содержит шесть точек (/; 2; 3; 4; 5; 6), а событие А А-В содержит одну точку (б).

На рис. 2.1, е показана справедливость следующих ра­венств: А Ат А—А, АА=А и А А-А — 6, т. е. А А-А есть все про­странство элементарных событий (возможных исходов) в опыте с бросанием игральной кости.

Пример 2.1. Дана система, состоящая из двух одиночно соединенных элементов Зі и Эг (рис. 2.2). Требуется, исполь­зуя рассмотренные логические союзы (символы), записать

условие отказа этой системы.

Решение. Условие отказа данной системы С может быть сформулировано в форме сложно­го события: «если отказал первый элемент и работоспособен второй элемент, или отказал второй эле­мент и работоспособен первый элемент, или отказали первый и второй элементы, то отказала система». Тогда на основании рассмотренных соотношений между событиями условие отказа системы может быть записано в виде следующего логического равенства:

Эг Э2 + Э, Э2 + Э, Эъ — С.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным,— если оно не может появиться в результате данного опыта. Со­
бытие, которое в результате данного опыта может появиться, .1 также может и не появиться, называется случайным собы — шем. Случайность появления события не означает отсутствия всякой закономерности и связи между комплексом условий, и’йствующнх в процессе опыта, н ожидаемым событием. На­пример, появление отказов в полете самолета будет более ве­роятным тогда, когда режим работы бортовых систем будет превышать расчетный. И далее, вероятность отказа будет тем больше, чем больше степень превышения расчетного режима, .ідесь отчетливо проявляется определенная связь между комп­лексом условий, действующих в процессе опыта, и ожидаемым событием.

Вероятность события. Другой количественной характери­стикой опыта с точки зрения возможности появления интере­сующего нас события является вероятность события. Вероят­ность события есть численная мера степени объективной воз­можности этого события.

Если какой-либо опыт сводится к схеме случаев, то веро­ятность элементарного события равна I IN, а вероятность сложного события А

NА

N ’ где /VA — число точек, входящих в А; N — число точек в про­странстве элементарных событий данного опыта.

Опыты, с которыми приходится иметь дело при анализе надежности авиационной техники, не сводятся к схеме слу­чаев и поэтому определение вероятности интересующего нас события непосредственно из условия самого опыта заменяют другими способами определения вероятностей.

Для того чтобы составить представление об этих методах, рассмотрим последовательность N одинаковых опытов (на­пример, самолето-вылетов). Предположим, что в результате каждого опыта регистрируется появление или непоявление некоторого события А (например, отказ насоса определенно — ю типа) Независимо от того обладают или не обладают этн опыты симметрией возможных исходов событие А (отказ на­соса) обладает определенной степенью объективной возмож­ности, которую в принципе можно измерить численно и кото­рая прн повторении подобных опытов будет отражаться в
частости появления события А (отказ насоса). Обозначая час­тость события А через Р*(А), можно записать

где п— число появлений события А, т. е. число отказов насо­са в N самолето-вылетах, продолжительностью по t час каж­дый.

Частость любого события представляет собой правильную дробь н может быть также равна нулю или единице:

0< Р*(А) < 1.

Частость события в теории вероятностей также называют частотой события или его статистической вероятностью (в отличие от математической вероятности).

В теории надежности понятие частоты события (частоты отказов) фигурирует в другом смысле, а поэтому для избежа­ния путаницы мы остановились на термине частость события как его статистической вероятности.

При небольшом числе опытов частость события носит в значительной мере случайный характер и ее значение может заметно колебаться от одной группы опытов к другой. При увеличении числа опытов частость события все более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойст­венные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погаша­ются, и частость проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине. Это свойство «устойчивости час­тостей». многократно проверено экспериментально и подтвер­ждается всем опытом практической деятельности человече­ства, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Математическую форму­лировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли. Он показал, что при неограниченном увеличении числа независи­мых однородных опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частость события будет сколько угод­но мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте. В этом случае говорят, что частость Р*(Л) сходится по веро­ятности к Р(Л).

Таким образом, проводя достаточное количество опытов и определив частость интересующего нас события, приближенно находят вероятность события как численную меру степени

іки. сктивной возможности появления интересующего нас СО"

II 1.1 ГИЯ.

В свою очередь, теория вероятностей также дает методы ішрсделения достаточности количества опытов для того, чтобы по частости события судить о вероятности события, которое n. i ожидаем в этих опытах. Однако на практике непосредст — пенный подсчет вероятностей сложных событий таким мето — н»м очень трудоемок. Поэтому, как правило, для определения їм роятностей сложных событий применяются не непосредст­венные прямые методы, а косвенные, позволяющие по извест­ным исходным вероятностям одних самых простых событий определить вероятности других более сложных событий, но с ними связанных. Применяя косвенные методы, пользуются ос­новными теоремами теории вероятностей.